例3 观察下列图形并填表：

梯形个数	1	2	3	4	5	6	……	n
周 长	5	8	11	14	……	，	，	，

　　例5 对代数式3a作出解释。
　　说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。
　　例6 化简： (1)x2-4x+4 ； (2)x-2　x+2
　　　　　　　　　　x2-4 　　　x+2　 x-2
　　例7 估计下列方程的解：
　　（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。
　　例8 5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？
　　说明 可以用列举、画图等方法。
　　例9 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？ 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？

0	10	20	30	40	50	时间/分	0	10	20	30	40时间/分

　　例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。
　　例11 填表并观察下列两个函数的变化情况：

x	1	2	3	4	5	……
y1=50+x	，	，	，	，	，	，
Y2=5x	，	，	，	，	，	，

　　（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；
　　（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。
二、空间与图形
　　在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
　　推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化 思想。
　　在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。
（一）具体目标
　　1．图形的认识
　　(1) 点、线、面
　　通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由 点组成的）。
　　（2）角
　　①通过丰富的实例，进一步认识角。
　　②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行 简单换算。
　　③了解角平分线及其性质【1】
　　（3）相交线与平行线
　　①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
　　②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
　　③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
　　④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。
　　⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
　　⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
　　⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
　　（4）三角形
　　①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
　　②探索并掌握三角形中位线的性质。
　　③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。
　　④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角 形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。
　　⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
　　（5）四边形
　　① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。
　　② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系 ；了解四边形的不稳定性。
　　③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］ 。
　　④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。
　　⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］
　　⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。
　　⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
　　（6）圆
　　①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
　　②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
　　③了解三角形的内心和外心。
　　④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
　　⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
　　（7）尺规作图
　　① 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。
　　② 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
　　③ 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
　　④ 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
　　（8）视图与投影
　　① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图 ），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
　　② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
　　③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
　　④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
　　⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴 影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。
　　⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
　　⑦通过实例了解中心投影和平行投影。
　　2．图形与变换
　　（1）图形的轴对称
　　①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
　　②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。［参见例1］
　　③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。
　　④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。
　　（2）图形的平移
　　①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。
　　②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
　　③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
　　（3）图形的旋转
　　①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
　　② 了解平行四边形、圆是中心对称图形。
　　③ 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
　　④ 欣赏旋转在现实生活中的应用。
　　⑤ 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］
　　⑥ 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
　　（4） 图形的相似
　　① 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
　　② 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
　　③ 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
　　④ 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
　　⑤ 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（ 如利用相似测量旗杆的高度）。
　　⑥ 通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°， 60°角的三角函 数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。
　　⑦ 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
　　3．图形与坐标
　　（1） 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、 由点的位置写出它的坐标。［参见例4］
　　（2） 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］
　　（3） 在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］
　　（4） 灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］
　　4．图形与证明
　　（1）了解证明的含义
　　① 理解证明的必要性。
　　② 通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
　　③ 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
　　④ 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
　　⑤ 通过实例，体会反证法的含义。
　　⑥ 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
　　（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据
　　① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
　　② 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
　　③ 若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全 等。
　　④ 全等三角形的对应边、对应角分别相等。
　　（3）利用（2）中的基本事实证明下列
　　命题［1］1
　　① 平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。
　　② 三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。
　　③ 直角三角形全等的判定定理。
　　④ 角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
　　⑤ 垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
　　⑥ 三角形中位线定理。
　　⑦ 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
　　⑧ 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
　　（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值
(二)案例
　　例1 以树干为对称轴，画出树的另一半。
　　例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。
　　例3 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过 怎样的变换产生的？
　　例4 在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连 接起来：
　　① （2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），
　　　　（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
　　② （1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
　　③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
　　④ （4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
　　⑤ （3，3）。
　　观察这个图形，你觉得它像什么？
　　例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系 ，用坐标表示各个景点的位置：
　　例6 如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案“A”经过变换分别变成图2至图6中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。
　　例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：
　　（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；
　　（2）填空：
　　百鸟园在大门的北偏东　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米；
　　熊猫馆在大门的北偏　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米；
　　驼峰在大门的南偏　　度的方向上，到大门的图上距离约为　　厘米。
　　说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。
三、统计与概率
　　在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。
　　在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。
(一)具体目标
　　1．统计
　　（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
　　（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可 能得到不同的结果。［参见例1］
　　（3）会用扇形统计图表示数据。
　　（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数 据的集中程度。
　　（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散 程度。［参见例2］
　　（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
　　（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。
　　（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。
　　（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法 。
　　（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。［ 参见例3］
　　2．概率
　　（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。［参见例4和例5］
　　（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。［参见例6］
　　（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
(二)案例
　　例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电 视的人都要被问到吗？对一所大学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所 做的调查结果会一样吗？
　　例2 下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位 ：千克），比较两个水果店销售量的稳定性。

，	1月	2月	3月	4月	5月	6月
甲商店	450	440	480	420	580	550
乙商店	480	440	470	490	520	520

　　例3 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。
　　例4 一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
　　例4 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。
　　例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的频率。